قابلية القسمة على بعض الاعداد

قابلية القسمة على بعض الاعداد

1) قابلية القسمة على 2
يقبل عدد ما القسمة على 2 إذا كان آحاده صفر أو عدداً زوجياً

مثال [ 124 - 58 - 1356 - . . . . ]

2) قابلية القسمة على 3
يقبل عدد ما القسمة على 3 إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على 3

مثال [ 129 - 57 - 1356 - . . . . ]

3) قابلية القسمة على 4
يقبل عدد ما القسمة على 4 إذا كان العدد المكون من الآحاد والعشرات يقبل القسمة على 4 أو 00

مثال [ 124 - 112 - 1336 - 100 . . ]

4) قابلية القسمة على 5
يقبل عدد ما القسمة على 5 إذا كان آحاده ( 0 أو 5 )

مثال [ 125 - 50 - 1735 - . . . . ]

5) قابلية القسمة على 6
يقبل عدد ما القسمة على 6 إذا كان يقبل القسمة على ( 2 و 3 معا )

مثال [ 124 - 42 - 1356 - . . . . ]

6) قابلية القسمة على 9
يقبل عدد ما القسمة على 9 إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على 9

مثال [ 117 - 45 - 4356 - . . . . ]

7) قابلية القسمة على 10
يقبل عدد ما القسمة على 10 إذا كان آحاده صفر

مثال [ 120 - 40 - 1350 - . . . . ]

قابلية القسمة على 11
يقبل عدد ما القسمة على 11 إذا كان الفرق بين مجموع المنازل الفردية ومجموع المنازل الزوجية ( 0 أو يقبل القسمة على 11 )

مثال [ 135817 مجموع المنازل الفردية 7+8+3 مجموع المنازل الزوجيه1+5+1 والفرق بينهما 18-7=11. . . . ايضا 176 وهنا الفرق صفر]

9) قابلية القسمة على جداء ( ضرب ) عددين أوليين فيما بينهما

يقبل عدد ما القسمة على ب × حـ إذا كان يقبل القسمة على كل منهما وكان ب ، حـ أأوليين فيما بينهما

مثال [ 24 يقبل القسمة على 2 و 3 معا الاوليين فيما بينهما نستنتج ان 24 يقبل القسمه عل 6 45 يقبل القسمه على 3 و 5 فهو يقبل القسمه على 15 ] وهكذا نستطيع إيجاد قابلية القسمة على أعداد أخرى باتباع القاعدة السابقة

ملاحظة 36 يقبل القسمة على 2 , 4
وهذا لايعني ولا يمكن أن نستنتج أن 36 يقبل القسمة على 8 لأن 2 ،4 غير أوليين فيما بينهما

10) قابلية القسمة على 25
يقبل عدد ما القسمة على 25 إذا كان العدد المكون
من الآحاد والعشرات يقبل القسمة على 25 أو 00

مثال [ 125 - 4375 - 1350 - . . . . ]

11) قابلية القسمة على 1001
أي عدد مكون من ستة منازل (مراتب آحاد عشرات . . . ) إذا تكررت الأرقام الثلاث بالتتالي
كان يقبل القسمة على 1001
وهو أيضا يقبل القسم على كل من الأعداد الأولية 7 ، 11 ، 13
لأن 1001 = 7 × 11 × 13

مثاله ( 123123 ) و ( 469469 ) و ( 775775 ) تقبل القسمة على (7 ، 11 ، 13 ) وعلى جداء ( ضرب )أي أثنين منها فهي تقبل القسمة على 77 ، 143 ، 91 . . .

12)قابلية القسمة على 8

يقبل عدد ما القسمة على 8 إذا كان ( الآحاد + 2 × العشرات + 4 × المئات ) يقبل القسمة على 8
وباعتبارها جديدة نذكر البرهان:
المبدأ العام :
إذا كان س مضاعف للعدد ك وكان س + ص مضاعفاً للعدد ك ===> ص مضاعف لـ ك
البرهان بسيط وهو :
س = ن1 × ك ، س + ص = ن2 × ك ===>
ص = ن2 × ك - س = ( ن2 - ن1 ) × ك
ك ، ن1 ، ن2 أعداد صحيحة

أي عدد منازلة (مراتبه : س آحاده ،ع عشراته ،ص مئاته ،ط ألوف ، . . . . . ) يكتب
س ع ص ط و = س + 10 ع + 100 ص + 1000 ط + 10000 و + . . . .
نستطيع ان نكتب
س ع ص ط و = س + 2 ع + 4 ص + 8 ع + 96 ص + 1000 ط + 10000 و + . . .
أيضاً
س ع ص ط و = س + 2 ع + 4 ص +{ 8 ( ع + 12 ص + 125 ط + 1250 و + . . . ) }
تم تجزئته الى مجموع عددين
نلاحظ : { 8 ( ع + 12 ص + 125 ط + 1250 و + . . . ) } يقبل القسمة على 8

نستطيع القول : إذاكان س + 2 ع + 4 ص يقبل القسمة على 8 فإن العدد سيقبل القسمة على 8
مثال :
3624 يقبل القسمة عل 8 لأن ( 4 + 2 × 2 + 4 × 6 = 32 ) يقبل القسمة على 8

مثال : 28576 يقبل القسمة عل 8 لأن ( 6 + 2 × 7 + 5 × 4 = 40 ) يقبل القسمة عل 8 مثال : ننظر الى المراتب الثلاث الاولى فقط ونطبق عليها القاعده الاحاد+2× العشرات+4×المئات 4125366385 نتحقق من القاعدة ( 5 + 16 + 12 = 33 ليس من مضاعفات فالعدد لايقبل القسمة على 8

قابلية القسمة على 7 و 13 و 17 و 19 و 23 و ...

المبدأ العام :
إذا كان س مضاعف للعدد ك وكان س + ص مضاعفاً للعدد ك ===> ص مضاعف لـ ك
وقد تم برهانها في المشاركة السابقة

والآن أي عدد مهما كان عدد مراتبه ( منازله آحاد ، عشرات ، مئات ، ألوف ، . . . )

نأخذ الآحاد ونسميه ب ثم نأخذ العدد المتبقي ونسميه حـ
القاعدة :
قابلية القسمة على 7
إذاكان العدد ( 2 × ب - حـ ) من مضاعفات السبعة ===> العدد المذكور يقبل القسمة على 7

البرهان : لمن اراد
نقوم بتجزئة العدد الى جزأين الاول ب والثاني جـ

أي عدد = ب + 10 حـ
نأخذ 2 × ب - حـ
نأخذ 2 × ب - حـ
نأخذ 2 × ب - حـ
------------------- نجمع الأعداد السابقة الأربع نجد
====> 7 × ب + 7 حـ وهذا يقبل القسمة على 7

إذن إذا كان ( 2 × ب - حـ ) يقبل القسمة على 7 فإن العدد المطلوب يقبل القسمة على 7

مثال1: 105
ب = 5
جـ = 10
2 × ب - حـ = 0 وهو من مضاعفات 7 فالعدد 105 يقبل القسمة على 7
مثال2:
875 يقبل القسمة على 7
لأن ب=5 ، حـ = 87
و حـ - 2×ب = 87 - 10 = 77 يقبل القسمة على 7
مثال3:
5782 يقبل القمة على 7 تطبق القاعدة ذاتها مرتين متتاليتين:
الأولى: 578 - 4 = 574 نطبق القاعدة على العددالناتج دون النظر للإشارة أي |العدد|
الثانيه: 57 - 8 = 49 وهو يقبل القسمة على 7 ===> 5782 يقبل القسمة على 7
ملاحظة : يمكن أن نأخذ ( حـ - 2 × ب ) بدلا من ( 2 × ب - حـ ) لأن الفرق بالإشارة فقط
النتيجة: أي عدد يجزأ إلى جزأين الأول ب = أحاد العدد
والجزء الثاني حـ = العدد الناتج من حذف رقم الآحاد

إذاكان العدد: حـ - 2 × ب من مضاعفات 7 فإن العدد المجزأ يقبل القسمة على 7
وبنفس الطريقة يمكن الاستنتاج: يقبل عدد ما القسمة على 7 إذاكان حـ - 2 × ب يقبل القسمة على 7

يقبل عدد ما القسمة على 13 إذاكان 4 × ب + حـ يقبل القسمة على 13

يقبل عدد ما القسمة على 17 إذاكان حـ - 5 × ب يقبل القسمة على 17

يقبل عدد ما القسمة على 19 إذاكان 2 × ب + حـ يقبل القسمة على 19

يقبل عدد ما القسمة على 23 إذاكان 7 × ب + حـ يقبل القسمة على 23 نكرر للإستفادة أكثر برهان قابلية القسمة على 29 :
أي عدد يجزأ إلى جزأين الأول ب = أحاد العدد
والجزء الثاني حـ = العدد الناتج من حذف رقم الآحاد

العدد يكتب ب + 10 حـ
نجمع له 19 ( 3 × ب + حـ )
فيصبح الناتج: 58 × ب + 29 حـ = 29 ( 2 × ب + حـ ) وهو يقبل القسمة على 29

فإذا كان ( 3 × ب + حـ ) من مضاعفات 29 فحتما العدد سيقبل القسمة على 29 ونستطيع القول : يقبل عدد ما القسمة على 29 إذاكان 3 × ب + حـ يقبل القسمة على 29

يقبل عدد ما القسمة على 31 إذاكان حـ - 3 × ب يقبل القسمة على 31 وهكذا يمكن لك أن تستنتج قواعد القسمة لأي عدد ترغب