الحساب الذهني
الحساب الذهني هو أن نحول عملية إلى مجموعة من العمليات أكثر بساطة إعتماداً على خواص معينة .
) إذا كنت غير قادر على حفظ جدول الضرب للرقم تسعة فهناك السر. نقوم أولاً بترقيم اصابع اليدين من (1-10) فإذا أردنا ضرب الرقم (9) في أي رقم من (1-10) فإننا نقوم بانزال الاصبع الذي يمثل العدد المضروب فيه ففي المثال 9*،4 نقوم بإنزال الاصبع الذي يشير الى الرقم (4)، وعندها لن يبقى إلا ان نقرأ الاجابة ولابد ان نلاحظ ان الاصابع التي تقع على يسار الاصبع المنزل تمثل العشرات بمعنى ان 3 تساوي (30)، أما الاصابع الواقعة على يمين الاصبع المنزل (المنحني) فتمثل الآحاد، فيكون المجموع 36.
2) إذا أردنا ان نحصل على حاصل ضرب (247*536) فثمة خمس خطوات، حيث نقوم اولاً بضرب الآحاد ببعضها البعض وفي هذا المثال نجد ان 7*6=42 ومن هذه الاجابة نضع 2 جانباً ونبقي الرقم (4) للخطوة المقبلة.
الآن نحصل على العشرات بضرب الآحاد بالعشرات كما يلي (4*6) + (3*7) فتكون النتيجة ،45 وهنا نضيف الاربعة المتبقية من العملية الاولى فتصبح النتيجة 45+4= ،49 لكننا نحتفظ بالأربعة لحساب المئات. وإذا أردنا الحصول على قيمة المئات، نقوم بضرب الآحاد مع المئات كما ونضرب العشرات فيما بينها وذلك كما يلي: (3*4) + (2*6) + (5*7)= ،59 وهنا نضيف الاربعة المتبقية من العملية السابقة فيصبح الناتج 63. من هذا الناتج نحتفظ بالستة ثم نضرب الآلاف عن طريق ضرب العشرات بالمئات كما يلي: (4*5) + (3*2)= ،26 ثم نضيف الستة السابقة فيصبح الناتج ،32 وهنا ايضا نحتفظ بالثلاثة كي نضيفها في خانة عشرات الآلاف. وأخيرا يبقى لدينا ان نضرب المئات في المئات، فنقوم بضرب (5*2)= ،10 ثم نضيف الى الناتج 3 فتصبح الاجابة الكاملة هي: (132392).
3) ضرب عددين الفرق بينهما عدد زوجي: في هذه العملية نريد مثلا ضرب 81*79 وللحصول على نتيجة سريعة نستخدم القانون (2ق-2ف)=(ق+ف) * (ق-ف) أو ما يسمى بالفرق بين المربعين وذلك على النحو التالي: (16400)= (180) * (180)= 81*79 وهذا يساوي 6399. ولا شك ان المتخصصين في الحسابات الذهنية السريعة يحفظون عن ظهر قلب جميع مربعات الاعداد، ولذا لا يجدون أي صعوبة في التوصل الى النتيجة بسهولة.
4) والآن الى طريقة الضرب بالعدد (11) السحرية. في هذه الطريقة نتبع الآتي: إذا أردنا ان نضرب 27*،11 نقوم بابعاد ال (2) عن ال (7) ونضع بينهما مجموعهما الذي يساوي 9 فتكون النتيجة 297 وهو حاصل ضرب 27*11!
أما إذا كان حاصل جمع العددين اكبر من 10 وذلك كما في المثال التالي: 78*11 فإننا نقوم بالخطوة الآتية: نطبق الطريقة السابقة نفسها أي نضع (15) بين ال (8) وال (7) لكننا نضيف الواحد الى خانة المئات فتكون النتيجة 858!
5) كيف نضرب عددين عشراتهما متشابهة على ان يكون حاصل جمع خانة الآحاد فيهما يساوي (10) مثل 33*37؟
أولاً نقوم بضرب الآحاد فيما بينهما حيث نضرب 7*3=21 بعد ذلك نكتب على يسار هذه النتيجة (921 حاصل ضرب العشرات ثم نجمع عليها رقم خانة العشرات فتكون النتيجة (3*3) + 3= 12 أي ان النتيجة النهائية هي: 1221.
6) كيف نضرب أي عددين بين 6 و10/
نقوم بترقيم اصابع اليدين بدءا من الابهام، من الستة حتى العشرة فمثلا لو اردنا ضرب 7*،8 نجعل سبابة اليد اليمنى تلتقي مع الاصبع الاوسط من اليد اليسرى، وفي هذه الحالة نحصل على ثلاث مجموعات من الاصابع، اثنتين فوق السبابة والوسطى” ومجموعة تحتهما وعندها نقوم بضرب أصابع المجموعتين العلويتين ببعضهما أي 3*2=6 حيث يوضع هذا الرقم في خانة الآحاد، ثم نجمع عليه عدد اصابع المجموعة السفلى والتي تساوي خمسة اصابع وهنا نعطي لكل اصبع القيمة عشرة أي 50 وأخيرا نجمع 6+50=56 وهو حاصل ضرب (7*8)!
7) كيف نحول عملية ضرب معقدة الى عملية بسيطة؟ كحاصل ضرب (337*51)! في هذه الحالة يقوم المتخصص في الحساب الذهني بضرب (50*337)+337 فتكون النتيجة 16850+337=17187 وكذلك الحال لو أردنا ضرب 56*12 حيث نقوم بضرب (56*10+56*2= 560+112=672).
8) اطلب من أحدهم ان يختار عددا يقع بين (1 - 100) ثم ليضربه بنفسه 5 مرات وبعد ذلك اخبره بأنك ستجد العدد ليضربه في نفسه 5 مرات، وبعد ذلك اخبره بأنك ستجد العدد الذي اختاره انطلاقا من الناتج أي من الجذر الخامس للعدد. والآن كيف يتم التوصل الى النتيجة؟ أولاً لابد ان نعلم ان اس (القوة) الخمسة لأي عدد ، ينتهي بنفس رقم العدد نفسه عند قراءة النتيجة النهائية فلو أخذنا العدد ،248832 لرأينا ان العدد الأصلي ينتهي بالرقم (92 اما إذا أردنا معرفة خانة العشرات فيكفي ان نجد مكان وقوع العدد 248832 بين اعداد القائمة التالية: (000 100) 10 (000 3200) 20 (000 300 24) 30 وبما ان العدد الذي لدينا يقع 10 و20 فإن العدد المطلوب البحث عنه يقع بين 10 و20 وبما انه ينتهي ب (2) فلا يمكن ان يكون إلا (12)! والآن ما هو الجذر الخامس للعدد (8587340257). إذا أردنا ايجاد الاجابة فلابد ان نحفظ القيم التالية (1500،000،000) (3000،000،000) (6000،000،000) (10،000،000،000) وهنا نجد ان العدد هو (97) مع ملاحظة ان العدد ينتهي بالرقم 7.
9) كيف نحصل على حاصل ضرب (142857143)*(123456789)؟ اخترع طريقة هذه الاعداد آرثر جريفث الذي كان يستعرض قدراته امام الناس وكان يطلب منهم ان يقترحوا عليه عددا مكونا من 9 أرقام ثم يقترح عليهم هو عددا مكونا من 9 أرقام، لكن المفاجأة الكبرى ان جريفث كان يعطي الاجابة خلال ثوان فقط لحاصل ضرب العددين! ولو نظرنا للأمر عن كثب لوجدنا ان جريفث كان خبيرا في فن الخداع، فلو كان احدهم فكر بأن يطلب من جريفث ان يعيد العملية الحسابية، فلوقع الرجل في حيص بيص. والواقع ان العدد الذي كان يقترحه جريفث على الناس هو نفسه أي (142857143). والمعلوم لهذا العدد خاصية واضحة، فهو يساوي (1000،000001) تقسيم (7) ولو كان المشاهدون طلبوا منه ضرب الرقم السابق ب (123456789) لكان جريفث سيقوم بضرب هذا الرقم بالعدد (1000،000،001) ولكانت النتيجة هي (123456789123456789) أما جريفث لم يكن لديه سوى قسمة هذا العدد الكبير على 7 للتوصل الى النتيجة النهائية، وهي طريقة اسهل بكثير من الضرب المباشر.
10) كيف يمكن الحصول على الجذر التاسع والثالث عشر والسابع عشر والواحد والعشرين؟
اطلب من أي شخص ان يضرب عددا يقع بين (1-10) بنفسه ،9 13 أو 17 مرة. وللوصول الى الرقم المختار انطلاقا من نتيجة هذه العملية، يكفي ان نعطي الرقم الأخير للعدد الهائل الذي سنحصل عليه. فعلى سبيل المثال نجد ان الجذر السابع عشر للعدد (129140163) هو (3).. وهكذا.
الحساب الذهني هو أن نحول عملية إلى مجموعة من العمليات أكثر بساطة إعتماداً على خواص معينة .
مثال1: 147+28=147+(30-2) لأن 28=30-2
ومعنى هذا أن أضيف3 إلى رقم العشرات وأطرح 2 من رقم الآحاد،فتكون النتيجة ببساطة هي 175.
مثال 2 : 36*12=36*(10+2)
=36*10+36*2 وهذا بتطبيق خاصة توزيع الضرب على الجمع.
=360+30*2+6*2 بخاصة التوزيع أيضا .
=360+60+12
=300+60+60+12
=300+120+12
=432
ويمكن بسهولة وبسرعة أن ننجز هذا الحساب ذهنيا.
والحساب الذهني هو مهارة من المهارات التي يكتسبها التلميذ من دراسة الرياضيات وعلينا كمدرسي الرياضيات أن نطبقه مع التلاميذ ونستغل كل قاعدة أو خاصية تساعد على إنجاز حساب ذهني ، فهو ينمي الفكر ويقوي الذاكرة كما يجعل التلميذ اكثر تركيزا .
ومعنى هذا أن أضيف3 إلى رقم العشرات وأطرح 2 من رقم الآحاد،فتكون النتيجة ببساطة هي 175.
مثال 2 : 36*12=36*(10+2)
=36*10+36*2 وهذا بتطبيق خاصة توزيع الضرب على الجمع.
=360+30*2+6*2 بخاصة التوزيع أيضا .
=360+60+12
=300+60+60+12
=300+120+12
=432
ويمكن بسهولة وبسرعة أن ننجز هذا الحساب ذهنيا.
والحساب الذهني هو مهارة من المهارات التي يكتسبها التلميذ من دراسة الرياضيات وعلينا كمدرسي الرياضيات أن نطبقه مع التلاميذ ونستغل كل قاعدة أو خاصية تساعد على إنجاز حساب ذهني ، فهو ينمي الفكر ويقوي الذاكرة كما يجعل التلميذ اكثر تركيزا .
) إذا كنت غير قادر على حفظ جدول الضرب للرقم تسعة فهناك السر. نقوم أولاً بترقيم اصابع اليدين من (1-10) فإذا أردنا ضرب الرقم (9) في أي رقم من (1-10) فإننا نقوم بانزال الاصبع الذي يمثل العدد المضروب فيه ففي المثال 9*،4 نقوم بإنزال الاصبع الذي يشير الى الرقم (4)، وعندها لن يبقى إلا ان نقرأ الاجابة ولابد ان نلاحظ ان الاصابع التي تقع على يسار الاصبع المنزل تمثل العشرات بمعنى ان 3 تساوي (30)، أما الاصابع الواقعة على يمين الاصبع المنزل (المنحني) فتمثل الآحاد، فيكون المجموع 36.
2) إذا أردنا ان نحصل على حاصل ضرب (247*536) فثمة خمس خطوات، حيث نقوم اولاً بضرب الآحاد ببعضها البعض وفي هذا المثال نجد ان 7*6=42 ومن هذه الاجابة نضع 2 جانباً ونبقي الرقم (4) للخطوة المقبلة.
الآن نحصل على العشرات بضرب الآحاد بالعشرات كما يلي (4*6) + (3*7) فتكون النتيجة ،45 وهنا نضيف الاربعة المتبقية من العملية الاولى فتصبح النتيجة 45+4= ،49 لكننا نحتفظ بالأربعة لحساب المئات. وإذا أردنا الحصول على قيمة المئات، نقوم بضرب الآحاد مع المئات كما ونضرب العشرات فيما بينها وذلك كما يلي: (3*4) + (2*6) + (5*7)= ،59 وهنا نضيف الاربعة المتبقية من العملية السابقة فيصبح الناتج 63. من هذا الناتج نحتفظ بالستة ثم نضرب الآلاف عن طريق ضرب العشرات بالمئات كما يلي: (4*5) + (3*2)= ،26 ثم نضيف الستة السابقة فيصبح الناتج ،32 وهنا ايضا نحتفظ بالثلاثة كي نضيفها في خانة عشرات الآلاف. وأخيرا يبقى لدينا ان نضرب المئات في المئات، فنقوم بضرب (5*2)= ،10 ثم نضيف الى الناتج 3 فتصبح الاجابة الكاملة هي: (132392).
3) ضرب عددين الفرق بينهما عدد زوجي: في هذه العملية نريد مثلا ضرب 81*79 وللحصول على نتيجة سريعة نستخدم القانون (2ق-2ف)=(ق+ف) * (ق-ف) أو ما يسمى بالفرق بين المربعين وذلك على النحو التالي: (16400)= (180) * (180)= 81*79 وهذا يساوي 6399. ولا شك ان المتخصصين في الحسابات الذهنية السريعة يحفظون عن ظهر قلب جميع مربعات الاعداد، ولذا لا يجدون أي صعوبة في التوصل الى النتيجة بسهولة.
4) والآن الى طريقة الضرب بالعدد (11) السحرية. في هذه الطريقة نتبع الآتي: إذا أردنا ان نضرب 27*،11 نقوم بابعاد ال (2) عن ال (7) ونضع بينهما مجموعهما الذي يساوي 9 فتكون النتيجة 297 وهو حاصل ضرب 27*11!
أما إذا كان حاصل جمع العددين اكبر من 10 وذلك كما في المثال التالي: 78*11 فإننا نقوم بالخطوة الآتية: نطبق الطريقة السابقة نفسها أي نضع (15) بين ال (8) وال (7) لكننا نضيف الواحد الى خانة المئات فتكون النتيجة 858!
5) كيف نضرب عددين عشراتهما متشابهة على ان يكون حاصل جمع خانة الآحاد فيهما يساوي (10) مثل 33*37؟
أولاً نقوم بضرب الآحاد فيما بينهما حيث نضرب 7*3=21 بعد ذلك نكتب على يسار هذه النتيجة (921 حاصل ضرب العشرات ثم نجمع عليها رقم خانة العشرات فتكون النتيجة (3*3) + 3= 12 أي ان النتيجة النهائية هي: 1221.
6) كيف نضرب أي عددين بين 6 و10/
نقوم بترقيم اصابع اليدين بدءا من الابهام، من الستة حتى العشرة فمثلا لو اردنا ضرب 7*،8 نجعل سبابة اليد اليمنى تلتقي مع الاصبع الاوسط من اليد اليسرى، وفي هذه الحالة نحصل على ثلاث مجموعات من الاصابع، اثنتين فوق السبابة والوسطى” ومجموعة تحتهما وعندها نقوم بضرب أصابع المجموعتين العلويتين ببعضهما أي 3*2=6 حيث يوضع هذا الرقم في خانة الآحاد، ثم نجمع عليه عدد اصابع المجموعة السفلى والتي تساوي خمسة اصابع وهنا نعطي لكل اصبع القيمة عشرة أي 50 وأخيرا نجمع 6+50=56 وهو حاصل ضرب (7*8)!
7) كيف نحول عملية ضرب معقدة الى عملية بسيطة؟ كحاصل ضرب (337*51)! في هذه الحالة يقوم المتخصص في الحساب الذهني بضرب (50*337)+337 فتكون النتيجة 16850+337=17187 وكذلك الحال لو أردنا ضرب 56*12 حيث نقوم بضرب (56*10+56*2= 560+112=672).
8) اطلب من أحدهم ان يختار عددا يقع بين (1 - 100) ثم ليضربه بنفسه 5 مرات وبعد ذلك اخبره بأنك ستجد العدد ليضربه في نفسه 5 مرات، وبعد ذلك اخبره بأنك ستجد العدد الذي اختاره انطلاقا من الناتج أي من الجذر الخامس للعدد. والآن كيف يتم التوصل الى النتيجة؟ أولاً لابد ان نعلم ان اس (القوة) الخمسة لأي عدد ، ينتهي بنفس رقم العدد نفسه عند قراءة النتيجة النهائية فلو أخذنا العدد ،248832 لرأينا ان العدد الأصلي ينتهي بالرقم (92 اما إذا أردنا معرفة خانة العشرات فيكفي ان نجد مكان وقوع العدد 248832 بين اعداد القائمة التالية: (000 100) 10 (000 3200) 20 (000 300 24) 30 وبما ان العدد الذي لدينا يقع 10 و20 فإن العدد المطلوب البحث عنه يقع بين 10 و20 وبما انه ينتهي ب (2) فلا يمكن ان يكون إلا (12)! والآن ما هو الجذر الخامس للعدد (8587340257). إذا أردنا ايجاد الاجابة فلابد ان نحفظ القيم التالية (1500،000،000) (3000،000،000) (6000،000،000) (10،000،000،000) وهنا نجد ان العدد هو (97) مع ملاحظة ان العدد ينتهي بالرقم 7.
9) كيف نحصل على حاصل ضرب (142857143)*(123456789)؟ اخترع طريقة هذه الاعداد آرثر جريفث الذي كان يستعرض قدراته امام الناس وكان يطلب منهم ان يقترحوا عليه عددا مكونا من 9 أرقام ثم يقترح عليهم هو عددا مكونا من 9 أرقام، لكن المفاجأة الكبرى ان جريفث كان يعطي الاجابة خلال ثوان فقط لحاصل ضرب العددين! ولو نظرنا للأمر عن كثب لوجدنا ان جريفث كان خبيرا في فن الخداع، فلو كان احدهم فكر بأن يطلب من جريفث ان يعيد العملية الحسابية، فلوقع الرجل في حيص بيص. والواقع ان العدد الذي كان يقترحه جريفث على الناس هو نفسه أي (142857143). والمعلوم لهذا العدد خاصية واضحة، فهو يساوي (1000،000001) تقسيم (7) ولو كان المشاهدون طلبوا منه ضرب الرقم السابق ب (123456789) لكان جريفث سيقوم بضرب هذا الرقم بالعدد (1000،000،001) ولكانت النتيجة هي (123456789123456789) أما جريفث لم يكن لديه سوى قسمة هذا العدد الكبير على 7 للتوصل الى النتيجة النهائية، وهي طريقة اسهل بكثير من الضرب المباشر.
10) كيف يمكن الحصول على الجذر التاسع والثالث عشر والسابع عشر والواحد والعشرين؟
اطلب من أي شخص ان يضرب عددا يقع بين (1-10) بنفسه ،9 13 أو 17 مرة. وللوصول الى الرقم المختار انطلاقا من نتيجة هذه العملية، يكفي ان نعطي الرقم الأخير للعدد الهائل الذي سنحصل عليه. فعلى سبيل المثال نجد ان الجذر السابع عشر للعدد (129140163) هو (3).. وهكذا.
__________________
كذلك
طريقة تربيع الأعداد من خانتين و المنتهية بـ : 5
مثلا : 35 × 35
خذ العدد الذي على يسار الـ:5 (و هو 3 في هذا المثال) و زده 1 :
3 + 1 = 4
الآن اضربه بالناتج : 3 × 4 = 12
ضع 25 على يمين الـ: 12 فيصبح المطلوب : 1225
مثال آخر : 75 × 75
7 + 1 = 8
7 × 8 = 56
الجواب : 5625
طريقة تربيع الأعداد من خانتين و المنتهية بـ : 5
مثلا : 35 × 35
خذ العدد الذي على يسار الـ:5 (و هو 3 في هذا المثال) و زده 1 :
3 + 1 = 4
الآن اضربه بالناتج : 3 × 4 = 12
ضع 25 على يمين الـ: 12 فيصبح المطلوب : 1225
مثال آخر : 75 × 75
7 + 1 = 8
7 × 8 = 56
الجواب : 5625
__________________
كذلك
1) قابلية القسمة على 2
يقبل عددما القسمة على 2 إذا كان آحاده صفر أو عدداً زوجياً
2) قابلية القسمة على 3
يقبل عدد ما القسمة على 3 إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على 3
3) قابلية القسمة على 4
يقبل عدد ما القسمة على 4 إذا كان العدد المكون من الآحاد والعشرات يقبل القسمة على 4
4) قابلية القسمة على 5
يقبل عدد ما القسمة على 5 إذا كان آحاده ( 0 أو 5 )
5) قابلية القسمة على 6
يقبل عدد ما القسمة على 6 إذا كان يقبل القسمة على ( 2 و 3 معا )
6) قابلية القسمة على 9
يقبل عدد ما القسمة على 9 إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على 9
7) قابلية القسمة على 10
يقبل عدد ما القسمة على 10 إذا كان آحاده صفر
قابلية القسمة على 11
يقبل عدد ما القسمة على 11 إذا كان
الفرق بين مجموع المنازل الفردية ومجموع المنازل الزوجية ( 0 أو يقبل القسمة على 11 )
9) قابلية القسمة على جداء ( ضرب ) عددين أوليين فيما بينهما
يقبل عدد ما القسمة على ب × حـ إذا كان يقبل القسمة على كل منهما وكان ب ، حـ أوليين فيما بينهما
24 يقبل القسمة على 2 , 3 ـ 24 يقبل القسمة على 6
45 يقبل القسمة على 5 , 3 ـ 45 يقبل القسمة على 15
وهكذا نستطيع إيجاد قابلية القسمة على أعداد أخرى باتباع القاعدة السابقة
ملاحظة 36 يقبل القسمة على 2 , 4
وهذا لايعني ولا يمكن أن نستنتج أن 36 يقبل القسمة على 8 لأن 2 ،4 غير أوليين فيما بينهما
10) قابلية القسمة على 25
يقبل عدد ما القسمة على 25 إذا كان العدد المكون من الآحاد والعشرات يقبل القسمة على 25 أو 00
11) قابلية القسمة على 1001 وأيضا 7 ، 11 ، 13
أي عدد مكون من ستة منازل (مراتب آحاد عشرات . . . ) إذا تكررت الأرقام الثلاث بالتتالي
كان يقبل القسمة على 1001
وهو أيضا يقبل القسم على كل من الأعداد الأولية 7 ، 11 ، 13 لأن 1001 = 7 × 11 × 13
مثاله ( 123123 ) و ( 469469 ) و ( 775775 ) تقبل القسمة على (7 ، 11 ، 13 )وعلى جداء
أي أثنين منها فهي تقبل القسمة على 77 ، 143 ، 91 . . .
1) تقسيم عدد على 5
س ÷ 5 = س ÷ ( 10 / 2 ) = ( س × 2 ) / 10
أي لتقسيم عدد ما على 5 نضرب العدد بـ 2 ونقسم الناتج على 10
423 / 5 = 2 ×423 / 10 = 84.6
2) تقسيم عدد على 25
س / 25 = س / ( 100 / 4 ) = ( 4 × س ) / 100
لتقسيم عدد على 25 نضرب العدد بـ 4 ونقسم الناتج على 100
1265 / 25 = 4 × 1265 / 100 = 50.6
ملاحظة لتقسيم عدد على 2.5 اضرب العدد بـ 4 وقسم الناتج على 10
54 / 2.5 = 4 × 54 / 10 = 21.6 وهكذا
ملاحظة لتقسيم عدد على 0.25 اضرب العدد بـ 4 فقط لأن 0.25 = 1 ÷ 4
235 / 0.25 = 4 × 235 = 940 وهكذا
3) تقسيم عدد على 125
س / 125 = س / ( 1000 / 8 ) = ( 8 × س ) / 1000
لتقسيم عدد على 125 نضرب العدد بـ 8 ونقسم على 1000
4235 / 125 = 8 × 4235 / 1000 = 33.88
465 / 125 = 8 × 465 / 1000 = 3.72
ملاحظة لتقسيم عدد على 12.5 نضرب العدد بـ 8 ونقسم على 100
142 / 12.5 = 8 × 142 / 100 = 11.36
ملاحظة لتقسيم عدد على 1.25 نضرب العدد بـ 8 ونقسم الناتج على 10
45 / 1.25 = 8 × 45 / 10 = 36
ملاحظة لتقسيم عدد على 0.125 اضرب العدد بـ 8 فقط لأن 0.125 = 125 / 1000 = 1 / 8
54 / 0.125 = 8 × 54 = 432 وهكذا
ضرب عدد بـ 15
س × 15 = س × ( 1.5 ) × 10 = س ( 1 +½ ) × 10 = ( س + ½ س ) × 10
لضرب عدد بـ 15 نجمع له نصفه ثم نضرب الناتج بـ 10
مثال : 24 × 15 = ( 24 + 12 ) × 10 = 360
مثال : 234 × 15 = (234 + 117 ) × 10 = 3510
4) ضرب عدد بـ 25
س × 25 = س × ( 100 / 4 ) = ( س / 4 ) × 100
لضرب عدد بـ 25 نقسم العدد على 4 ونضرب الناتج بـ 100
182 × 25 = (182 / 4 ) × 100 = 4550
ملاحظة : لضرب عدد بـ 2.5 نقسم العدد على 4 ونضرب الناتج بـ 10
65 × 2.5 = (65 / 4 ) × 10 = 162.5
ملاحظة : لضرب عدد 0.25 اقسم العدد على 4 فقط
456 × 0.25 = 456 / 4 = 114
5) ضرب عدد مؤلف من رقمين بـ 11
نجمع الأحاد والعشرات للعدد ونضعه بين الأحاد والعشرات اذاكان مجموعهما أصغر أو يساوي تسعه
مثال: 11× 15=165 حيث 6=5+1 ، 11×34=374 حيث 7=4+3
واذا كان حاصل جمع الآحاد والعشرات أكبر تماما من تسعه فإننا نضع الأحاد
الجديد بين الأحاد والعشرات ونجمع العشرات الجديد للعشرات القديم
مثال: 11× 37=407 حيث 7+3=10 تم وضع الصفر بينهما وجمع 1 إلى رقم العشرات 3 فأصبح 4
مثال: 11×86=946 وهكذا
ملاحظة : إذا كان العدد مؤلف من أكثر من رقمين ويراد ضربه بـ 11 نتبع
نضع رقم الآحاد كما هو ثم نجمع رقم الآحاد إلى العشرات ونضع آحاد الناتج ونضيف الباقي للمنزلة
التالية ونكرر كما فعلنا عندما كان مجموع رقمي العدد أكبرمن 9
567 × 11 = 6237
حيث تم وضع الآحاد 7 ثم تم (7+6)=13 ووضع آحاد الناتج عشرات وأضيف 1 إلى التالي ونكرر ما فعلناه
6) جداء عددين مؤلفين من رقمين يحققان
أ) مجموع رقمي الآحاد =10
ب) رقمي العشرات في العددين متساوي
القاعدة نضرب الأحاد بالآحاد ونضع بجانبه حاصل ضرب العشرات بالعددالتالي له
مثال: 23 × 27 = 621 ، حيث 3 × 7 = 21 و 2 × 3 = 6
مثال: 72 × 78 = 5616 حيث 2 × 8 = 16 و 7 × 8 = 56
ملاحظة وحالة خاصة منه تربيع عدد مؤلف من رقمين وآحاده = 5
75 × 75 = 5625 وكذلك 45 × 45 = 2025
7) توظيف بعض المطابقات في الحساب الذهني
أ) ب2 - حـ2 = ( ب - حـ ) ( ب + حـ )
جداء عددين الفرق بينهما عدد صحيح صغير في البدايه ثم نعمم
39 × 41 = ( 40 - 1 ) ( 40 + 1 ) = 1600 - 1 = 1599
73 × 67 = ( 70 + 3 ) ( 70 - 3 ) = 4900 - 9 = 4891
ب) ( ب ± حـ )2 = ب2 ± 2 ب حـ + حـ2
وتستخدم لإيجاد مربع عدد بحيث يكون العدد القريب منه يمكن حساب مربعه بسهولة
(41)^2 = ( 40 + 1 )^2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
(48)^2 = ( 50 - 2 )^2 = 2500 - 200 + 1 = 2301
8) لضرب عدد بـآخر ربما تكون أقدم الطرق وهي توزيع أحدهما على الأخر
وهي تحليل احدهما إلى عشرة أو مضاعفاتها
32×15 =32×(10+5)=320+160=480
153×17=153×(20 - 3) = 3060 - 459 = 2501
1) قابلية القسمة على 2
يقبل عددما القسمة على 2 إذا كان آحاده صفر أو عدداً زوجياً
2) قابلية القسمة على 3
يقبل عدد ما القسمة على 3 إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على 3
3) قابلية القسمة على 4
يقبل عدد ما القسمة على 4 إذا كان العدد المكون من الآحاد والعشرات يقبل القسمة على 4
4) قابلية القسمة على 5
يقبل عدد ما القسمة على 5 إذا كان آحاده ( 0 أو 5 )
5) قابلية القسمة على 6
يقبل عدد ما القسمة على 6 إذا كان يقبل القسمة على ( 2 و 3 معا )
6) قابلية القسمة على 9
يقبل عدد ما القسمة على 9 إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على 9
7) قابلية القسمة على 10
يقبل عدد ما القسمة على 10 إذا كان آحاده صفر
قابلية القسمة على 11 يقبل عدد ما القسمة على 11 إذا كان
الفرق بين مجموع المنازل الفردية ومجموع المنازل الزوجية ( 0 أو يقبل القسمة على 11 )
9) قابلية القسمة على جداء ( ضرب ) عددين أوليين فيما بينهما
يقبل عدد ما القسمة على ب × حـ إذا كان يقبل القسمة على كل منهما وكان ب ، حـ أوليين فيما بينهما
24 يقبل القسمة على 2 , 3 ـ 24 يقبل القسمة على 6
45 يقبل القسمة على 5 , 3 ـ 45 يقبل القسمة على 15
وهكذا نستطيع إيجاد قابلية القسمة على أعداد أخرى باتباع القاعدة السابقة
ملاحظة 36 يقبل القسمة على 2 , 4
وهذا لايعني ولا يمكن أن نستنتج أن 36 يقبل القسمة على 8 لأن 2 ،4 غير أوليين فيما بينهما
10) قابلية القسمة على 25
يقبل عدد ما القسمة على 25 إذا كان العدد المكون من الآحاد والعشرات يقبل القسمة على 25 أو 00
11) قابلية القسمة على 1001 وأيضا 7 ، 11 ، 13
أي عدد مكون من ستة منازل (مراتب آحاد عشرات . . . ) إذا تكررت الأرقام الثلاث بالتتالي
كان يقبل القسمة على 1001
وهو أيضا يقبل القسم على كل من الأعداد الأولية 7 ، 11 ، 13 لأن 1001 = 7 × 11 × 13
مثاله ( 123123 ) و ( 469469 ) و ( 775775 ) تقبل القسمة على (7 ، 11 ، 13 )وعلى جداء
أي أثنين منها فهي تقبل القسمة على 77 ، 143 ، 91 . . .
المبدأ رد العملية إلى عملية أبسط منها باستخدام بعض الخواص
1) تقسيم عدد على 5
س ÷ 5 = س ÷ ( 10 / 2 ) = ( س × 2 ) / 10
أي لتقسيم عدد ما على 5 نضرب العدد بـ 2 ونقسم الناتج على 10
423 / 5 = 2 ×423 / 10 = 84.6
2) تقسيم عدد على 25
س / 25 = س / ( 100 / 4 ) = ( 4 × س ) / 100
لتقسيم عدد على 25 نضرب العدد بـ 4 ونقسم الناتج على 100
1265 / 25 = 4 × 1265 / 100 = 50.6
ملاحظة لتقسيم عدد على 2.5 اضرب العدد بـ 4 وقسم الناتج على 10
54 / 2.5 = 4 × 54 / 10 = 21.6 وهكذا
ملاحظة لتقسيم عدد على 0.25 اضرب العدد بـ 4 فقط لأن 0.25 = 1 ÷ 4
235 / 0.25 = 4 × 235 = 940 وهكذا
3) تقسيم عدد على 125
س / 125 = س / ( 1000 / 8 ) = ( 8 × س ) / 1000
لتقسيم عدد على 125 نضرب العدد بـ 8 ونقسم على 1000
4235 / 125 = 8 × 4235 / 1000 = 33.88
465 / 125 = 8 × 465 / 1000 = 3.72
ملاحظة لتقسيم عدد على 12.5 نضرب العدد بـ 8 ونقسم على 100
142 / 12.5 = 8 × 142 / 100 = 11.36
ملاحظة لتقسيم عدد على 1.25 نضرب العدد بـ 8 ونقسم الناتج على 10
45 / 1.25 = 8 × 45 / 10 = 36
ملاحظة لتقسيم عدد على 0.125 اضرب العدد بـ 8 فقط لأن 0.125 = 125 / 1000 = 1 / 8
54 / 0.125 = 8 × 54 = 432 وهكذا
عملية الضرب هي العملية المعاكسة للقسمة
ضرب عدد بـ 15
س × 15 = س × ( 1.5 ) × 10 = س ( 1 +½ ) × 10 = ( س + ½ س ) × 10
لضرب عدد بـ 15 نجمع له نصفه ثم نضرب الناتج بـ 10
مثال : 24 × 15 = ( 24 + 12 ) × 10 = 360
مثال : 234 × 15 = (234 + 117 ) × 10 = 3510
4) ضرب عدد بـ 25
س × 25 = س × ( 100 / 4 ) = ( س / 4 ) × 100
لضرب عدد بـ 25 نقسم العدد على 4 ونضرب الناتج بـ 100
182 × 25 = (182 / 4 ) × 100 = 4550
ملاحظة : لضرب عدد بـ 2.5 نقسم العدد على 4 ونضرب الناتج بـ 10
65 × 2.5 = (65 / 4 ) × 10 = 162.5
ملاحظة : لضرب عدد 0.25 اقسم العدد على 4 فقط
456 × 0.25 = 456 / 4 = 114
5) ضرب عدد مؤلف من رقمين بـ 11
نجمع الأحاد والعشرات للعدد ونضعه بين الأحاد والعشرات اذاكان مجموعهما أصغر أو يساوي تسعه
مثال: 11× 15=165 حيث 6=5+1 ، 11×34=374 حيث 7=4+3
واذا كان حاصل جمع الآحاد والعشرات أكبر تماما من تسعه فإننا نضع الأحاد
الجديد بين الأحاد والعشرات ونجمع العشرات الجديد للعشرات القديم
مثال: 11× 37=407 حيث 7+3=10 تم وضع الصفر بينهما وجمع 1 إلى رقم العشرات 3 فأصبح 4
مثال: 11×86=946 وهكذا
ملاحظة : إذا كان العدد مؤلف من أكثر من رقمين ويراد ضربه بـ 11 نتبع
نضع رقم الآحاد كما هو ثم نجمع رقم الآحاد إلى العشرات ونضع آحاد الناتج ونضيف الباقي للمنزلة
التالية ونكرر كما فعلنا عندما كان مجموع رقمي العدد أكبرمن 9
567 × 11 = 6237
حيث تم وضع الآحاد 7 ثم تم (7+6)=13 ووضع آحاد الناتج عشرات وأضيف 1 إلى التالي ونكرر ما فعلناه
6) جداء عددين مؤلفين من رقمين يحققان
أ) مجموع رقمي الآحاد =10
ب) رقمي العشرات في العددين متساوي
القاعدة نضرب الأحاد بالآحاد ونضع بجانبه حاصل ضرب العشرات بالعددالتالي له
مثال: 23 × 27 = 621 ، حيث 3 × 7 = 21 و 2 × 3 = 6
مثال: 72 × 78 = 5616 حيث 2 × 8 = 16 و 7 × 8 = 56
ملاحظة وحالة خاصة منه تربيع عدد مؤلف من رقمين وآحاده = 5
75 × 75 = 5625 وكذلك 45 × 45 = 2025
7) توظيف بعض المطابقات في الحساب الذهني
أ) ب2 - حـ2 = ( ب - حـ ) ( ب + حـ )
جداء عددين الفرق بينهما عدد صحيح صغير في البدايه ثم نعمم
39 × 41 = ( 40 - 1 ) ( 40 + 1 ) = 1600 - 1 = 1599
73 × 67 = ( 70 + 3 ) ( 70 - 3 ) = 4900 - 9 = 4891
ب) ( ب ± حـ )2 = ب2 ± 2 ب حـ + حـ2
وتستخدم لإيجاد مربع عدد بحيث يكون العدد القريب منه يمكن حساب مربعه بسهولة
(41)^2 = ( 40 + 1 )^2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
(48)^2 = ( 50 - 2 )^2 = 2500 - 200 + 1 = 2301
8) لضرب عدد بـآخر ربما تكون أقدم الطرق وهي توزيع أحدهما على الأخر
وهي تحليل احدهما إلى عشرة أو مضاعفاتها
32×15 =32×(10+5)=320+160=480
153×17=153×(20 - 3) = 3060 - 459 = 2501
ليست هناك تعليقات :
إرسال تعليق