تبسيط عمليات الضرب

تبسيط عمليات الضرب

عملية الضرب هي العملية المعاكسة للقسمة

نتابع وعلى بركة الله ضرب الأعداد 

4 ) ضرب عدد بـ 5

س × 5 = س × ( 10 ÷ 2 ) = 10 × س ÷ 2 

لضرب عدد بـ 5 نقسم العدد على 2 ونضرب الناتج بـ 10 مثال

124 × 5 =( 124 ÷ 2 ) × 10 = 62 × 10 = 620 

ملاحظه لضرب عدد بـ 50 نقسم العدد على 2 ونضرب الناتج بـ 100مثال

1342 × 50 =( 1342 ÷ 2 ) × 10 = 671 × 100 = 67100 

ملاحظه لضرب عدد بـ 500 نقسم العدد على 2 ونضرب الناتج بـ 1000 مثال

124 × 500 =( 124 ÷ 2 ) × 1000 = 62 × 1000 = 62000 

ملاحظه لضرب عدد بـ 0.5 نقسم العدد على 2 مثال

248 × 0.5 =( 248 ÷ 2 ) = 124 

ملاحظه لضرب عدد بـ 0.05 نقسم العدد على 2 و نقسم الناتج على 10 مثال

45 × 5 =( 45 ÷ 2 ) ÷ 10 = 22.5 × 10 = 225

++++

5 ) ضرب عدد بـ 15 س × 15 = س × ( 1.5 ) × 10 = س ( 1 + ½ ) × 10 = ( س + ½ س ) × 10

لضرب عدد بـ 15 نجمع له نصفه ثم نضرب الناتج بـ 10

مثال : 24 × 15 = ( 24 + 12 ) × 10 = 360

مثال : 234 × 15 = (234 + 117 ) × 10 = 3510

لضرب عدد بـ 150 نجمع له نصفه ثم نضرب الناتج بـ 100

مثال

125 × 150 =( 125 + 62.5 ) × 100 = 18750

ملاحظه لضرب عدد بـ 1.5 نجمع له نصفه فقط

مثال

46 × 1.5 = 46 + 23 = 69

ملاحظة لضرب عدد 0.15 نجمع للعدد نصفه ونقسم الناتج على 10

مثال

147 × 0.15 = ( 147 + 73.5 ) ÷ 10 = 220.5 ÷ 10 = 22.05

 تبسيط عمليات الضرب

6 ) ضرب عدد بـ 25

س × 25 = س × ( 100 ÷ 4 ) = ( س ÷ 4 ) × 100

لضرب عدد بـ 25 نقسم العدد على 4 ونضرب الناتج بـ 100

مثال

182 × 25 =( 182 ÷ 4 ) × 100 = 4550

ملاحظه : لضرب عدد بـ 250 نقسم العدد على 4 ونضرب الناتج بـ 1000

مثال

73 × 250 = ( 73 ÷ 4 ) × 1000 = 18250

ملاحظه : لضرب عدد بـ 2.5 نقسم العدد على 4 ونضرب الناتج بـ 10

مثال

65 × 2.5 = ( 65 ÷ 4 ) × 10 = 162.5

ملاحظه : لضرب عدد 0.25 نقسم العدد على 4 فقط

مثال

456 × 0.25 = ( 456 ÷ 4 ) = 114

7) ضرب عدد مؤلف من رقمين بـ 11

نميز حالتين

أولا اذا كان مجموعهما أصغر أو يساوي تسعه

القاعدة نجمع الأحاد والعشرات للعدد ونضعه بين الأحاد والعشرات ويكون العدد الجديد هو ناتج الضرب

مثال:

11× 15=165 حيث 6=5+1

11×34=374 حيث 7=4+3

ثانيا

اذا كان حاصل جمع الآحاد والعشرات أكبر تماما من تسعه ( مؤلف من رقمين )

القاعدة نضع الأحاد الجديد بين الأحاد والعشرات ونجمع العشرات الجديد للعشرات القديم

مثال:

11× 37=407 حيث 7+3=10 تم وضع الصفر بينهما وجمع 1 إلى رقم العشرات 3 فأصبح 4

مثال:

11×86=946 وهكذا

ملاحظة : إذا كان العدد مؤلف من أكثر من رقمين ويراد ضربه بـ 11 نتبع نضع رقم الآحاد كما هو ثم نجمع رقم الآحاد إلى العشرات ونضع آحاد الناتج ونضيف الباقي للمنزلة التالية ونكرر كما فعلنا عندما كان مجموع رقمي العدد أكبرمن 9 567

× 11

= 6237

حيث تم وضع الآحاد 7

ثم تم جمع (7+6)=13 ووضع آحاد الناتج عشرات وأضيف 1 إلى التالي( 6+5) نضع 1 وهو الاحاد ونضيف العشرات وهو 1 الى المرتبه الاخيره

نتابع تبسيط عمليات الضرب

6 ) ضرب عدد بـ 25

س × 25 = س × ( 100 ÷ 4 ) = ( س ÷ 4 ) × 100

لضرب عدد بـ 25 نقسم العدد على 4 ونضرب الناتج بـ 100

مثال

182 × 25 =( 182 ÷ 4 ) × 100 = 4550

ملاحظه : لضرب عدد بـ 250 نقسم العدد على 4 ونضرب الناتج بـ 1000

مثال

73 × 250 = ( 73 ÷ 4 ) × 1000 = 18250

ملاحظه : لضرب عدد بـ 2.5 نقسم العدد على 4 ونضرب الناتج بـ 10

مثال

65 × 2.5 = ( 65 ÷ 4 ) × 10 = 162.5

ملاحظه : لضرب عدد 0.25 نقسم العدد على 4 فقط

مثال

456 × 0.25 = ( 456 ÷ 4 ) = 114

7) ضرب عدد مؤلف من رقمين بـ 11

نميز حالتين

أولا اذا كان مجموعهما أصغر أو يساوي تسعه

القاعدة نجمع الأحاد والعشرات للعدد ونضعه بين الأحاد والعشرات ويكون العدد الجديد هو ناتج الضرب

مثال:

11× 15=165 حيث 6=5+1

11×34=374 حيث 7=4+3

ثانيا

اذا كان حاصل جمع الآحاد والعشرات أكبر تماما من تسعه ( مؤلف من رقمين )

القاعدة نضع الأحاد الجديد بين الأحاد والعشرات ونجمع العشرات الجديد للعشرات القديم

مثال:

11× 37=407 حيث 7+3=10 تم وضع الصفر بينهما وجمع 1 إلى رقم العشرات 3 فأصبح 4

مثال:

11×86=946 وهكذا

ملاحظة : إذا كان العدد مؤلف من أكثر من رقمين ويراد ضربه بـ 11 نتبع نضع رقم الآحاد كما هو ثم نجمع رقم الآحاد إلى العشرات ونضع آحاد الناتج ونضيف الباقي للمنزلة التالية ونكرر كما فعلنا عندما كان مجموع رقمي العدد أكبرمن 9 567

× 11

= 6237

حيث تم وضع الآحاد 7

ثم تم جمع (7+6)=13 ووضع آحاد الناتج عشرات وأضيف 1 إلى التالي( 6+5) نضع 1 وهو الاحاد ونضيف العشرات وهو 1 الى المرتبه الاخيره

 8 ) ضرب عددين مؤلفين من رقمين يحققان 

أ) مجموع رقمي الآحاد =10 

ب) رقمي العشرات في العددين متساوي 

القاعدة نضرب الأحاد بالآحاد ونضع بجانبه حاصل ضرب العشرات بالعددالتالي له 

مثال:

23 × 27 = 621 ، حيث 3 × 7 = 21 و 2 × 3 = 6 

مثال:

72 × 78 = 5616 حيث 2 × 8 = 16 و 7 × 8 = 56 

وحالة خاصة منه تربيع عدد مؤلف من رقمين وآحاده = 5 

75 × 75 = 5625 وكذلك 45 × 45 = 2025 

وحالة خاصة في حال كون احد العددين احاده = 1 نضع صفر 

مثال

81 × 89 = 7209

31 × 39 = 1209 

9 ) ضرب عددين مؤلفين من رقمين يحققان 

أ) رقمي الآحاد في العددين متساويين 

ب) مجموع رقمي العشرات العددين يساوي = 10 

القاعدة 

نضرب الآحاد بالآحاد (مربع الآحاد هو العدد المكون للآحاد والعشرات للناتج ) 

ثم نضرب العشرات بالعشرات ونضيف إليه الآحاد فينتج مئات وألوف الناتج

مثال:

43 × 63 = 2709 ( 09 هو مربع الأحاد ، 4 × 6 نضيف إليه 3 = 27 ) 

مثال: 

85 × 25 = 2125 ( ويمكن تطبيق قاعدة الضرب بـ 25 المذكورة سابقا ) 

مثال: 

77 × 37 = 2849 

ومثال آخر 11 × 91 = 1001 

البرهان: 

العدد الأول × الثاني

يكتب ( ب + 10 حـ ) × ( ب + 10 د ) = 

= ب^2 + 10 ب حـ + 10 ب د + 100 حـ د 

= ب^2 + 10 ب ( حـ + د ) + 100 حـ د 

لكن ( حـ + د ) = 10 حسب الفرض 

= ب^2 + 100 ( ب + حـ د ) 

وهذا هو الذي نصت عليه القاعدة السابقة 

ويمكن البرهان على بقية القواعد السابقة بنفس الطريقة

ملاحظه اعتمادا على القاعدة السابقه

ضرب عددين مؤلفين من رقمين يحققان ( مجموع الاحاد 10 ) 

نستخدم المهارات التاليه مثلا ( 5.5 × 5.5 )

لتربيع أي عدد كسري يحتوي 1/2 

لتربيع أي عدد كسري يحتوي 1/2 مثل 1/2 5 نضرب العدد الصحيح بالعدد الصحيح الذي يليه ثم نضيف للناتج 1/4 

1/2 5 × 1/2 5= 1/4 30

نضرب الأعداد الصحيحة أولاً 5×6=30 ونضيف 1/4 يصبح الناتج 1/4 30 

لضرب عددين متشابهين كل منهما يضم كسر ( مجموع الكسرين يساوي 1)

مثلاً 3/4 4 × 1/4 4 ) نضرب العدد الصحيح بالعدد الصحيح الذي يليه 4×5

ونضرب الكسرين 3/4 × 1/4 = 3/16 

فيصبح ناتج الضرب : 3/16 20 أي نضع العدد الصحيح مع الكسر

10 ) توظيف بعض المطابقات في الحساب الذهني 

أولا :

ب2 - حـ2 = ( ب - حـ ) ( ب + حـ ) 

جداء عددين الفرق بينهما عدد صحيح صغير في البدايه ثم نعمم 

مثال :

39 × 41 = ( 40 - 1 ) ( 40 + 1 ) = 1600 - 1 = 1599 

73 × 67 = ( 70 + 3 ) ( 70 - 3 ) = 4900 - 9 = 4891 

56 × 64 = ( 60 - 4 ) ( 60 + 4 ) = 3600 - 16 = 3584

وهكذا يمكن ان تجد الكثير من التطبيقات

ثانيا :

ب) ( ب ± حـ )2 = ب2 ± 2 ب حـ + حـ2 

وتستخدم لإيجاد مربع عدد بحيث يكون العدد القريب منه يمكن حساب مربعه بسهولة 

مثال:

(41)^2 = ( 40 + 1 ) 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681 

( 48 )^2 = ( 50 - 2 ) 2 = 2500 - 200 + 1 = 2301 

( 121 )^2 = ( 120 + 1 )^2 = 14400 + 240 + 1 = 14641

ويمكنك ببعض التدريب ان تجود هذه القواعد وتتقنها
ويفضل ان تعلمها لأولادك وطلابك على دفعات كل شهر قاعده على سبيل المثال
وهذا سيمكنهم من التحليل والتركيب الذي لا غنى عنه للجميع
ليس في مجال الرياضيات بل في كل العلوم

كيف تنجز عملية الضرب لعددين كل منهما مؤلف من مرتبتين بطريقة سهلة وميسرة ومباشرة
شرحها أطول من تطبيقها بكثير
نضع العددين تحت بعضهما البعض ناتج الضرب سيكون مؤلف من أربع مراتب على الاكثر
آحاد الناتج نحصل عليه :
نضرب آحاد العدد الاول في أحاد العدد الثاني فينتج عدد آحاده هو آحاد الناتج والعشرات تحمل للعملية التالية
عشرات الناتج نحصل عليه :
( آحاد الاول ضرب عشرات الثاني ) ونجمع له ( آحاد الثاني ضرب عشرات الاول ) ونجمع له ( المحمول من الآحاد )
فيكون أحاده هو مرتبة العشرات ونحمل الباقي للعملية التالية
مئات وألوف الناتج نحصل عليه :
( عشرات الاول ضرب عشرات الثاني ) نجمع له المحمول من السابق ونضعه بجانب الآحاد والعشرات الذي وجدناهما
فنحصل على الناتج النهائي :
مثال
46
73
--------
8 ، ( نضرب 3 ضرب 6 = 18 نضع 8 ونحمل 1 للمرحلة التالية )
المرحلة التالية( معرفة العشرات )
46
73
--------
8 5 ، ( 6 ضرب 7 + 3 ضرب 4 + 1 وهو المحمول = 55 وضعنا 5 عشرات وحملنا 5 للمرحلة التالية )
المرحلة التالية (معرفة الناتج النهائي )
46
73
--------
8 5 3 3 ، ( 7 ضرب 4 + 5 المحمول من العشرات = 33 )
طبعا تم التفصيل على مراحل ويمكن دمجها في مرحلة واحدة
----مثال ----
62
83 ×
---------
الاحاد= 6 =3 ضرب 2 لايوجد حمل والعشرات = 16 + 18 = 34 نضع 4 في العشرات ونحمل 3 والباقي = 8 ضرب 6 + 3 = 51
فالناتج النهائي يكون
62
83 ×
---------
6 4 1 5
جرب وستجد أنها أسهل من الطريقة التقليدية
( على نفس المبدأ يمكن التعميم على ضرب عددين كل منهما مؤلف من ثلاثة أرقام )